チェバ・メネラウスの定理って覚えないとダメ?

〜ある日の授業〜

それでは今日はチェバ・メネラウスの定理を使う問題に取り組んでみましょう。

《問題》

下の三角形ABCにおいて、EO:OCを求めよ。

先生、本当にこの問題を解かないといけないのでしょうか?

え、どうしたんですかたろうさん。

いつもであればこんな丁寧な物言いするような方ではないと記憶しているのですが……

この問題は既に──我々が1年前に通過した場所だッッッ!

わっ!突然大声でどうしたんですか!

中国武術の達人のような台詞回しになったのはさておき、たろうさんの言いたいことが先生にもわかりましたよ。

つまり、たろうさんはこの問題は中学でやっただろと言いたいのですね。

確かに、上の問題は相似の知識があれば解けてしまいますから。

おうともさ。俺はそれが言いたかった。

この手の問題は高校受験で結構やったからな!

高校入って新しい方法なんて覚える必要なんてねえええええ!!!

いつも通り情緒不安定なたろうさんが戻ってきて先生は安心です。

それでは今日は、上の問題を

①中学の知識(相似)を使って解くパターン

②チェバ・メネラウスを使って解くパターン

を2つ紹介して、最終的にチェバメ・ネラウスを覚えた方がいいですよね、という話をしましょう。

 

中学の知識で解くパターン

相似を使ってこの問題を解く場合、2段階に分けて解いていくことになります。

それではやっていきましょう。

 

補助線を使って指定の比が出せるようにする

CEとBDを延長して次のような図形にします。

このように補助線を引くことにより、砂時計型の相似な図形を作ることができます。

この時点で、CEを延長した線の比がざっくりと出せますね。

 

比の合成して求める比を出す

比の合成という言葉は公式なものではないと思いますが、受験でのテクニックをこう呼ぶことが多いです。

上の画像では1つの線分に2種類の比の表し方がされていますよね。

このようになっているとき、2種類の比を同じ尺度に直してあげる作業を行います。

上側は7:2で比の合計は9、下側は3:2で比の合計は5。

したがって、互いの比の合計が最小公倍数の45になるように調整すれば、比の合成が完了です。

計算をすると、EO:OC=8:10=4:5

ということがわかりました。

 

チェバ・メネラウスを使って解くパターン

この問題では、メネラウスの定理を使います。

問題の画像から、メネラウスの定理を使えば以下のような式が立てられます。

\begin{eqnarray} \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{OC}{EO}=1 \end{eqnarray}

これを解くことによって、

\begin{eqnarray} 4OC&=&5EO\\ EO:OC&=&4:5 \end{eqnarray}

求めたい比が求められました。

おわりに

どうですか、たろうさん?

確かに中学の頃の方法でも解けてしまいますが、高校で習うチェバ・メネラウスの定理を覚えていた方が圧倒的に早さが違いますよね。

是非とも覚えて、他の問題に使える時間を増やしましょう。

ぐぬぬ……覚えないといけないか……

でもだったらよ!なんで中学で教えてくれなかったんだよ!

このケチ教師!

クレームは文部科学省まで。

それではまとめに入りましょう。

《本日のまとめ》

①チェバ・メネラウスを使う問題は中学の知識で解けてしまうものも多い。

②しかし、チェバ・メネラウスの定理を使った方が圧倒的に早い! 是非とも覚えよう。

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