三角比の公式は3種類覚えれば大丈夫!

〜ある日の授業〜

うわあああん、ドラ◯もん!

またまた覚えられない公式が出てきたよぉおおお!

先生は猫型ロボットではありませんがそれはさておき、たろうさんどうしたんですか?

また公式の暗記でお困りのようですね

どのような問題でつまづいたのですか?

《問題》

次の三角比を45°以下の角の三角比で表せ。

(1)sin 59°

(2)cos 167°

(3)tan 200°

なるほど、この問題でしたか。

確かにこの手の「三角比の変換問題」は覚える公式が多いというのもありますが、そもそも覚えにくいですよね。

☆「90°-θ」の公式
sin(90°-θ)=cos θ
cos(90°-θ)=sin θ

☆「90°+θ」の公式
sin(90°+θ)=cos θ
cos(90°+θ)=sin θ

☆「180°-θ」の公式
sin(180°-θ)=sin θ
cos(180°-θ)=cos θ

でしたね。

俺は覚えているアピールはいいから覚え方を教えてくれよおおおお!!!!

なんかあるんだろ!表とか図とかよぉ!

持ってる情報全部はきやがれええええ!!!!

何やら捕まったスパイのような対応をされていますがそれはさておき、覚えやすい方法があるので今日はそれを紹介しましょう。

上の公式は似たようなものが多く少々頭が混乱してしまうので、問題を解くことのできる別の公式を覚えましょう

 

新しく覚える3つの公式

覚える公式の数は教科書で書かれている3つの公式(上で先生が言っているもの)と同じく3つですが、それ以上に覚えやすい公式があります。

これまで「90°-θ」「90°+θ」「180°-θ」を覚えてきた皆様、これからは「90°-θ」「-θ」「θ+180°」の時代ですよ!(もちろん、教科書の公式を覚えるに越したことはありませんが)

 

「90°-θ」の公式

この公式は、教科書で覚える公式の中にも載っていますので公式だけ載せて割愛します。

画像に90°の「°」が抜けてしまっていますが、完全に誤植です。

180°のところでも同じ間違いをしています。

ノートにメモを取っている人は「°」をこっそり付け加えておいてください。

 

「−θ」の公式

この公式を紹介する前に、各象限でのsin,cosの正負についておさらいします。

もしあなたが高校1年生であればまだ習っていないので「こうなってるんだ」くらいの気持ちでいてください。

上の図は、sinは0°から180°までは正の値で、180°から360°までは負の値を取っている。

また、cosは−90°から90°までは正の値で、90°から270°までは負の値を取っていることを示した図になります。

(高1では180°までしかやらないですが、cos135°=-1/2で確かに負の数になっていますよね)

ここで重要なのが、「−θ」とはx軸を対象軸として「θ」と対照になっているということです

もうこれで公式のイメージは一瞬でつきますよね。

sinでは「+」だった三角比は「−」になり、

cosでは「+」だった三角比が「+」になっています。

したがって、「−θ」の公式は次のようになっています。

円をイメージすれば自然と公式が覚えられるかと思います。

例えばこの公式と一つ上の公式がわかれば
sin 110°=sin(90°−(−20°))=cos(-20°)=cos 20°
というように変形ができますね。

  

「θ+180°」の公式

最後にこの公式です。

似たような公式が教科書にありますが、そちらより覚えやすいです。

先ほどの円と三角比の正負の値の図を見れば一発で公式が分かってしまいます。

sinでは「+」だった三角比は「−」になり、

cosでは「+」だった三角比が「−」になっています。

したがって「θ+180°」の公式は以下のようになっています。

この公式は言い換えれば「180°を消せば正負が逆転する」ということです。

180°を見つけて消去するゲームのように問題を解けますよ。

 

おわりに

うっしゃあああこれでさっきの課題はなんとかなったぜえええええ!!!!

(1)sin59°=sin(90°-31°)=cos31°

(2)cos167°=cos(180°-13°)=-cos(-13°)=-cos13°

(3)sin200°=sin(180°+20°)=sin20°
cos200°=cos(180°+20°)=cos20°だから
tan200°=tan20°

だああああああああ!!!!

たろうさんのテンションがおかしい気がしますがそれはさておき、勉強の手伝いができてよかったです。

図形を絡めて暗記したことですから、忘れにくい点もポイント高いですよね。

もちろん、教科書の公式もとても使い勝手が良いものですので、余裕があればぜひ覚えていただきたいですね

このような公式あるのなら早く教えて欲しかったです。

どうして最初の授業で教えてくれなかったのですか?

急に冷静になられると心配になりますが、先生も仕事ですからね。

教科書通りやることが先生を先生たらしめているのです。

文句があるなら教科書会社とその教科書を採択した先生に言うように……教科会でこの教科書を推したのは私でした。

都合が悪くなったので今日のまとめに入ります。

 

今日のまとめ

教科書の公式が覚えられない時は、別の公式で代用しよう。

◯「90°−θ」の公式
sin(90°−θ) = cos θ
cos(90°−θ) = sin θ

◯「−θ」の公式
sin(−θ) = −sin θ
cos(−θ) = cos θ

◯「θ+180°」の公式
sin(θ+180°) = −sin θ
cos(θ+180°) = −cos θ

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