平方根の積分のコツって何かないの?【高校数学Ⅲ】

はじめに

数学Ⅲの積分って数学Ⅱと比べていきなり計算が難しくなりますよね。

置換積分、部分積分など名前のついている積分の方法に隠れて意外な難易度を誇る積分計算があります。

それは『ルートの積分』です。

この記事では、ルートの積分の解き方の方針について3つ紹介するとともに、それに関する講義資料を作ったので、それを配布しようと思います。

最後に書いた積分テキストの宣伝もあります。安いので是非買ってね(Kindle Unlimited入ってたら無料で読めます)。

方針1.有理化する

この方針を使うルートの積分がまれに登場します。

具体的には以下のような積分の時です。

これらの積分では分母を有理化することによって、割り切れて式がスッキリします。

そのため、有理化することによって計算が簡単になるってことですね。

実は有理化しなくても解けるものがほとんどなので、思考の優先順位はかなり低めです。

方針2.ルートを丸ごと(t=√xのように)置き換える

この方針はかなり万能です。

ルートの入った積分のほとんどはこの方針で解くことができます。

そのため、具体例とかはありません。

ルートの積分が与えられたら、まずはじめにこの方針を持って問題に挑んでください

方針3.t=x+√ax+bのように置き換える

こいつの存在のせいでルートの積分の難易度が高くなっている説が高いです。

具体例を出した方が早いでしょう。

少しチャレンジしてもらえればわかると思いますが、方針2を使っても計算できません。

そこで、方針3の通りに置き換えるとなんと計算がうまくいくということですね。

ただ、実は方針3を用いる計算はどう足掻いても計算が面倒なことになるのでどうしようもありません。(じゃあどうしろと……

これに関しては何度も練習して慣れるしかありません。慣れてしまえば部分積分よりは簡単な計算ですからいけます!頑張れ!

まとめ

  • ルートの積分は最初に方針2を試そう!
  • それでダメなら方針3を試そう!
  • 方針1が使えそうだと気付いたら使ってみよう。

これでおおよそルートの積分は大丈夫のはずです。

最後に講義資料と積分ドリルの宣伝をのせて終わりとします。

皆さん高校数学頑張ってください。

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平方根の積分

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